천-페이턴 인자
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1. 개요
천-페이턴 인자는 1969년 잭 페이턴과 천홍모가 도입한 개념으로, 열린 끈 이론에서 끈의 끝에 부착된 자유도를 나타낸다. 가향 열린 끈의 경우 U(N) 게이지 군을, 비가향 열린 끈의 경우 SO(N) 또는 USp(N) 게이지 군을 유도하는 데 사용된다. 특히, 비가향 열린 끈의 경우 방향 역전 연산자에 대한 불변성을 만족시키기 위해 천-페이턴 인자의 대칭성 조건이 중요하게 작용한다.
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천-페이턴 인자 | |
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개요 | |
유형 | 열린 끈의 끝점에 부착된 다중값 색인 |
관련 개념 | 끈 이론 게이지 이론 표준 모형 |
상세 정보 | |
정의 | 끈의 끝에 부착된 기본 표현 또는 반대칭 표현 |
중요성 | 게이지 군 결정 표준 모형의 입자 스펙트럼 결정 |
예시 | U(N) 게이지 군 SO(32) 게이지 군 E8 × E8 게이지 군 |
2. 전개
천-페이턴 인자는 열린 끈의 양 끝점에 부여되는 일종의 자유도로, 정수 값 을 가진다. 이 자유도는 끈 이론에서 나타나는 게이지 대칭성의 종류를 결정하는 중요한 역할을 한다.
끈의 종류에 따라 형성되는 게이지 군이 달라진다.
- 가향 열린 끈의 경우, 양 끝점에 부여된 천-페이턴 인자에 의해 총 개의 게이지 장이 존재하며, 이들은 유니터리 군 U()을 형성한다.
- 비가향 열린 끈의 경우, 끈의 상태가 방향 역전(orientation reversal영어) 연산에 대해 대칭인지 반대칭인지에 따라 게이지 군이 달라진다. 대칭일 경우 심플렉틱 군 (이 짝수일 때), 반대칭일 경우 특수직교군 을 형성한다.
각 경우에 대한 더 자세한 설명과 게이지 군의 유도 과정은 하위 섹션에서 다룬다.
2. 1. 가향 열린 끈
가향 열린 끈의 경우, 끈의 양쪽 끝에 범위의 정수 값을 부여할 수 있는 자유도가 있다고 가정한다. 이 자유도는 끈의 한쪽 끝에는 기본 표현 '''N'''을, 다른 쪽 끝에는 반기본 표현 을 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 이러한 설정에 따라 총 개의 게이지 장 가 존재하게 되며, 이들은 유니터리 군 U()을 형성한다.2. 2. 비가향 열린 끈
비가향 열린 끈의 경우, 끈의 상태는 방향 역전(orientation reversal영어) 연산자에 대하여 대칭이거나 반대칭일 수 있다. 이 대칭성에 따라 가능한 상태의 수가 달라지며, 이는 형성되는 게이지 군의 종류를 결정한다.- 방향 역전 연산자에 대해 대칭인 경우: 총 가지 상태가 가능하며, 이때 게이지 군은 (이 짝수일 경우) 심플렉틱 군 이 된다.
- 방향 역전 연산자에 대해 반대칭인 경우: 총 가지 상태가 가능하며, 이때 게이지 군은 특수직교군 이 된다.[3]
2. 2. 1. 비가향 게이지 군의 유도
비가향 게이지 군은 다음과 같이 유도할 수 있다.[3] 개의 D-막이 겹쳐 있다고 가정하자.비가향 열린 끈의 상태는 방향 역전 연산자 에 대해 불변해야 한다. 이 연산자는 끈의 진동 모드 방향을 바꾸고,
:
천-페이턴 인자 를 다음과 같이 변환시킨다.
:.
여기서 는 임의의 행렬이다.
는 천-페이턴 인자뿐만 아니라 끈의 진동 모드 방향도 바꾸지만, 는 오직 천-페이턴 인자에만 작용한다. 비가향 열린 끈의 상태는 에 대해 불변해야 한다. 의 경우, 가 변하더라도 진동 모드의 방향이 바뀌어 상태가 불변일 수 있다. 그러나 는 에만 작용하므로, 라는 조건을 만족해야 한다. 이는 를 의미하며, 따라서 는 대칭행렬이거나 반대칭행렬이어야 한다.
1. 가 대칭행렬인 경우기저를 적절히 재정의하면 (단위행렬)로 설정할 수 있다. 이 경우,
- 천-페이턴 인자 가 대칭이면 방향 역전 연산에 대해 부호가 바뀌지 않는다 ().
- 가 반대칭이면 방향 역전 연산에 대해 부호가 바뀐다 ().
비가향 끈 이론에서 모든 상태는 방향 역전 연산 에 대해 불변해야 한다. 게이지 보손 상태 를 생각해보자. 진동 모드 은 에 의해 부호가 바뀐다 (). 따라서 전체 상태가 불변하려면 천-페이턴 인자 역시 부호가 바뀌어야 한다 (). 이는 가 반대칭 행렬임을 의미한다. 반대칭 행렬들은 직교군 의 리 대수를 형성하므로, 이 경우 게이지 군은 이다.
2. 가 반대칭행렬인 경우가 가역인 반대칭행렬이려면 행렬의 크기 은 반드시 짝수여야 한다. 기저를 적절히 재정의하여 를 다음과 같은 형태로 만들 수 있다.
:
여기서 는 단위행렬이다. 이 경우 이다.
- 만약 가 해밀턴 행렬( Hamiltonian matrix|해밀토니언 행렬영어, 즉 가 대칭행렬)이면, 이다. 이를 이용하면 가 되어 방향 역전 시 부호가 바뀐다.
- 만약 가 반해밀턴 행렬(anti-Hamiltonian matrix|반 해밀토니언 행렬영어, 즉 가 반대칭행렬)이면, 이다. 이를 이용하면 가 되어 방향 역전 시 부호가 바뀌지 않는다.
게이지 보손 상태 는 진동 모드 때문에 방향 역전 시 부호가 바뀐다. 따라서 전체 상태가 불변하려면 천-페이턴 인자 역시 부호가 바뀌어야 한다 (). 이는 가 해밀턴 행렬이어야 함을 의미한다. 해밀턴 행렬들은 심플렉틱 군 의 리 대수를 형성하므로, 이 경우 게이지 군은 이다.
3. 역사
잭 페이턴(Jack E. Paton영어)과 천홍모(陳匡武|천쾅우중국어, Hong-Mo Chan영어)가 1969년에 도입하였다.[4] 페이턴과 천은 원래 중간자를 설명하기 위해 천-페이턴 인자를 고안했다. 당시 중간자를 양 끝에 쿼크가 달린 열린 끈으로 보는 모형에서, 쿼크의 색을 나타내는 자유도가 필요했기 때문이다.
참조
[1]
논문
Generalized Veneziano Model with Isospin
[2]
서적
Concise Encyclopedia of Supersymmetry and Noncommutative Structures in Mathematics and Physics
https://archive.org/[...]
Springer
[3]
문서
[4]
논문
Generalized Veneziano model with isospin
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