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천-페이턴 인자

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1. 개요

천-페이턴 인자는 1969년 잭 페이턴과 천홍모가 도입한 개념으로, 열린 끈 이론에서 끈의 끝에 부착된 자유도를 나타낸다. 가향 열린 끈의 경우 U(N) 게이지 군을, 비가향 열린 끈의 경우 SO(N) 또는 USp(N) 게이지 군을 유도하는 데 사용된다. 특히, 비가향 열린 끈의 경우 방향 역전 연산자에 대한 불변성을 만족시키기 위해 천-페이턴 인자의 대칭성 조건이 중요하게 작용한다.

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천-페이턴 인자
개요
유형열린 끈의 끝점에 부착된 다중값 색인
관련 개념끈 이론
게이지 이론
표준 모형
상세 정보
정의끈의 끝에 부착된 기본 표현 또는 반대칭 표현
중요성게이지 군 결정
표준 모형의 입자 스펙트럼 결정
예시U(N) 게이지 군
SO(32) 게이지 군
E8 × E8 게이지 군

2. 전개

천-페이턴 인자는 열린 끈의 양 끝점에 부여되는 일종의 자유도로, 정수\{1, 2, \dots, N\}을 가진다. 이 자유도는 끈 이론에서 나타나는 게이지 대칭성의 종류를 결정하는 중요한 역할을 한다.

끈의 종류에 따라 형성되는 게이지 군이 달라진다.


  • 가향 열린 끈의 경우, 양 끝점에 부여된 천-페이턴 인자에 의해 총 N^2개의 게이지 장이 존재하며, 이들은 유니터리 군 U(N)을 형성한다.
  • 비가향 열린 끈의 경우, 끈의 상태가 방향 역전(orientation reversal영어) 연산에 대해 대칭인지 반대칭인지에 따라 게이지 군이 달라진다. 대칭일 경우 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(N) (N이 짝수일 때), 반대칭일 경우 특수직교군 \operatorname{SO}(N)을 형성한다.


각 경우에 대한 더 자세한 설명과 게이지 군의 유도 과정은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 가향 열린 끈

가향 열린 끈의 경우, 끈의 양쪽 끝에 \{1,2,\dots,N\} 범위의 정수 값을 부여할 수 있는 자유도가 있다고 가정한다. 이 자유도는 끈의 한쪽 끝에는 기본 표현 '''N'''을, 다른 쪽 끝에는 반기본 표현 \overline{\mathbf{N}}을 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 이러한 설정에 따라 총 N^2개의 게이지 장 A_{ij}가 존재하게 되며, 이들은 유니터리 군 U(N)을 형성한다.

2. 2. 비가향 열린 끈

비가향 열린 끈의 경우, 끈의 상태는 방향 역전(orientation reversal영어) 연산자에 대하여 대칭이거나 반대칭일 수 있다. 이 대칭성에 따라 가능한 상태의 수가 달라지며, 이는 형성되는 게이지 군의 종류를 결정한다.

  • 방향 역전 연산자에 대해 대칭인 경우: 총 N(N+1)/2가지 상태가 가능하며, 이때 게이지 군은 (N이 짝수일 경우) 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(N)이 된다.
  • 방향 역전 연산자에 대해 반대칭인 경우: 총 N(N-1)/2가지 상태가 가능하며, 이때 게이지 군은 특수직교군 \operatorname{SO}(N)이 된다.[3]

2. 2. 1. 비가향 게이지 군의 유도

비가향 게이지 군은 다음과 같이 유도할 수 있다.[3] N개의 D-막이 겹쳐 있다고 가정하자.

비가향 열린 끈의 상태는 방향 역전 연산자 \Omega에 대해 불변해야 한다. 이 연산자는 끈의 진동 모드 방향을 바꾸고,

:\Omega\colon\alpha_n\mapsto(-1)^n\alpha_n

천-페이턴 인자 \lambda_{ij}를 다음과 같이 변환시킨다.

:\Omega\colon\lambda\mapsto(\gamma\lambda\gamma^{-1})^T.

여기서 \gamma는 임의의 행렬이다.

\Omega는 천-페이턴 인자뿐만 아니라 끈의 진동 모드 방향도 바꾸지만, \Omega^2는 오직 천-페이턴 인자에만 작용한다. 비가향 열린 끈의 상태는 \Omega에 대해 불변해야 한다. \Omega의 경우, \lambda가 변하더라도 진동 모드의 방향이 바뀌어 상태가 불변일 수 있다. 그러나 \Omega^2\lambda에만 작용하므로, \Omega^2(\lambda)=(\lambda^T)^{-1}\gamma\lambda\gamma^{-1}\lambda^T=\lambda라는 조건을 만족해야 한다. 이는 \gamma^T=\pm\gamma를 의미하며, 따라서 \gamma대칭행렬이거나 반대칭행렬이어야 한다.
1. \gamma가 대칭행렬인 경우기저를 적절히 재정의하면 \gamma=1 (단위행렬)로 설정할 수 있다. 이 경우,

  • 천-페이턴 인자 \lambda가 대칭이면 방향 역전 연산에 대해 부호가 바뀌지 않는다 (\Omega(\lambda) = \lambda^T = \lambda).
  • \lambda가 반대칭이면 방향 역전 연산에 대해 부호가 바뀐다 (\Omega(\lambda) = \lambda^T = -\lambda).


비가향 끈 이론에서 모든 상태는 방향 역전 연산 \Omega에 대해 불변해야 한다. 게이지 보손 상태 \alpha_1^\mu|0,\lambda\rangle를 생각해보자. 진동 모드 \alpha_1\Omega에 의해 부호가 바뀐다 (\Omega(\alpha_1) = -\alpha_1). 따라서 전체 상태가 불변하려면 천-페이턴 인자 \lambda 역시 부호가 바뀌어야 한다 (\Omega(\lambda) = -\lambda). 이는 \lambdaN\times N 반대칭 행렬임을 의미한다. N\times N 반대칭 행렬들은 직교군 SO(N)리 대수를 형성하므로, 이 경우 게이지 군SO(N)이다.
2. \gamma가 반대칭행렬인 경우\gamma가역인 반대칭행렬이려면 행렬의 크기 N은 반드시 짝수여야 한다. 기저를 적절히 재정의하여 \gamma를 다음과 같은 형태로 만들 수 있다.

:\gamma=\begin{pmatrix}

0&I_{N/2}\\

  • I_{N/2}&0

\end{pmatrix}

여기서 I_{N/2}N/2\times N/2 단위행렬이다. 이 경우 \Omega(\lambda) = (\gamma\lambda\gamma^{-1})^T이다.

  • 만약 \lambda해밀턴 행렬( Hamiltonian matrix|해밀토니언 행렬영어, 즉 \gamma\lambda가 대칭행렬)이면, (\gamma\lambda)^T = \gamma\lambda이다. 이를 이용하면 \Omega(\lambda) = -\lambda가 되어 방향 역전 시 부호가 바뀐다.
  • 만약 \lambda가 반해밀턴 행렬(anti-Hamiltonian matrix|반 해밀토니언 행렬영어, 즉 \gamma\lambda가 반대칭행렬)이면, (\gamma\lambda)^T = -\gamma\lambda이다. 이를 이용하면 \Omega(\lambda) = \lambda가 되어 방향 역전 시 부호가 바뀌지 않는다.


게이지 보손 상태 \alpha_1^\mu|0,\lambda\rangle는 진동 모드 \alpha_1 때문에 방향 역전 시 부호가 바뀐다. 따라서 전체 상태가 불변하려면 천-페이턴 인자 \lambda 역시 부호가 바뀌어야 한다 (\Omega(\lambda) = -\lambda). 이는 \lambda가 해밀턴 행렬이어야 함을 의미한다. 해밀턴 행렬들은 심플렉틱 군 \operatorname{USp}(N)리 대수를 형성하므로, 이 경우 게이지 군은 \operatorname{USp}(N)이다.

3. 역사

잭 페이턴(Jack E. Paton영어)과 천홍모(陳匡武|천쾅우중국어, Hong-Mo Chan영어)가 1969년에 도입하였다.[4] 페이턴과 천은 원래 중간자를 설명하기 위해 천-페이턴 인자를 고안했다. 당시 중간자를 양 끝에 쿼크가 달린 열린 으로 보는 모형에서, 쿼크의 을 나타내는 자유도가 필요했기 때문이다.

참조

[1] 논문 Generalized Veneziano Model with Isospin
[2] 서적 Concise Encyclopedia of Supersymmetry and Noncommutative Structures in Mathematics and Physics https://archive.org/[...] Springer
[3] 문서
[4] 논문 Generalized Veneziano model with isospin



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